2021 | The Maths of Things

Epitaffio di Diòfanto

Fri, 19 Nov 2021 00:21:00 +0000

There is not one big cosmic meaning for all, there is only the meaning we each give to our life.
— Anaïs Nin

Diofanto di Alessandra

Diofanto di Alessandria (in greco: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς) fu un grande matematico greco e, anche se della sua vita si sa ben poco e pare sia vissuto nel periodo tra il $II$ e il $III$ secolo d.C. ad Alessandria d’Egitto in epoca romana, alcuni ritengono che sia stato l’ultimo dei grandi matematici ellenistici.
In un epigramma della “Antologia Palatina”, attribuito a Metrodoro di Bisanzio, grammatico e aritmetico vissuto nel $VI$ secolo d.C., si legge una curiosa indicazione dalla quale è possibile trarre l’età del grande matematico greco Diofanto.
L’indovinello che, secondo la leggenda, Diofanto stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio, è un problema aritmetico proposto sotto forma appunto di epigramma¹, e che fa parte della raccolta di 45 indovinelli, corrispondenti ad equazioni di primo grado ad un’incognita, che l’epigrammista greco Metrodoro incluse nell’Antologia Greca.
Infatti il libro XIV dell’Antologia Palatina contiene $150$ epigrammi, di cui $45$ sono i problemi aritmetici raccolti da Metrodoro.

epitaffio di Diofanto

A Diofanto si deve un famoso problema, che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio:

«Οὑτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος· ἆ μέγα θαῦμα!
καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει.
Ἕκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην,
δωδεκάτην δ’ ἐπιθείς μῆλα πόρεν χνοάειν·
τῇ δ’ ἄρ’ ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος,
ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ’ ἐπένευσεν ἔτει.
Αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος, ἥμισυ πατρός
+τοῦδε καὶ ἡ κρυερός+ μέτρον ἑλὼν βιότου. Πένθος δ’ αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς
τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ’ ἐπέρησε βίου.»

«Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia!
dice matematicamente quanto ha vissuto.
Un sesto della sua vita fu l’infanzia,
aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza.
Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie,
e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio.
L’infelice (figlio) morì improvvisamente
quando raggiunse la metà dell’età che il padre ha vissuto.
Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni
e raggiunse infine il termine della propria vita.»

La soluzione dell’enigma sta nella seguente equazione: $$\large \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 = x$$

soluzione:

$$ \begin{align} \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{84} = x\\ \cancel{84} \cdot \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{\cancel{84}} = 84x\\ -9x = -756\\ \dfrac{-9x}{-9} = \dfrac{-756}{-9}\\ \end{align} $$

da cui si ricava l’età di Diofanto: $$\Large x = 84$$

Breve componimento diretto a fissare, per lo più in modo ironico o satirico, l’interpretazione personale di un fatto, sì da indurre il lettore alla riflessione o al riso; ↩︎

Piano Estate - fase 3

Mon, 11 Oct 2021 00:00:00 +0000

La Fattorizzazione polinomiale

“Non esiste vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare”

- Lucio Anneo Seneca

importanza del calcolo letterale

perché si usano le lettere in matematica?
a cosa servono?

introduzione

metodi di fattorizzazione

raccoglimento a fattor comune totale

raccoglimento a fattor comune parziale

prodotti notevoli

ref.: ripasso prodotti notevoli

Trinomio Notevole - di secondo grado

Si tratta semplicemente di un trinomio di secondo grado, completo, con una caratteristica che lo rende particolare - infatti viene chiamato anche trinomio particolare

Si presenta nella forma seguente: $$x^2 + sx+p$$

in cui le lettere $s$ e $p$, stanno ad indicare

Divisione polinomiale

Regola di Ruffini

trinomio notevole di secondo grado

teorema del Resto

teorema di Ruffini

esercitazioni

esercizio n.1

Fattorizza i seguenti polinomi utilizzando il metodo che ritieni più appropriato:

polinomio metodo di fattorizzazione risultato

$81x^2 -36x + 4$ prodotti notevoli $(9x-2)^2$

$81x^2 -36x + 4$ prodotti notevoli $(9x-2)^2$

$81x^2 -36x + 4$ prodotti notevoli $(9x-2)^2$

polinomio	metodo di fattorizzazione	risultato
$81x^2 -36x + 4$	prodotti notevoli	$(9x-2)^2$
$81x^2 -36x + 4$	prodotti notevoli	$(9x-2)^2$
$81x^2 -36x + 4$	prodotti notevoli	$(9x-2)^2$

Effetto Dunning Kruger

Thu, 30 Sep 2021 00:00:00 +0000

“I know that I am intelligent, because I know that I know nothing.”

Socrate

Il fatto

Il 19 aprile 1995, il signor McArthur Wheeler, rapinò una banca con la faccia cosparsa di succo di limone, convinto che il succo di limone rendesse il suo volto invisibile alle telecamere di sorveglianza.

La polizia visionò le videocamere di sicurezza ed entro la mezzanotte il sig. Arthur fu arrestato. Incredibilmente disse: “ma indossavo il succo di limone…!”.
Sconcertati da questo ragionamento, David Dunning e Justin Kruger, due psicologi, hanno studiato il signor Wheeler e altri come lui. Sono giunti alla conclusione che le persone con scarse capacità in un compito tendono, paradossalmente, a sopravvalutarsi. Questo pregiudizio cognitivo è noto come effetto Dunning-Kruger.
Diamo un’occhiata a questo tracciando graficamente la propria fiducia nelle proprie capacità rispetto alla propria conoscenza effettiva in un campo.

Quando impariamo qualcosa di nuovo, spesso siamo molto fiduciosi perché sappiamo così poco che non appena ne sappiamo qualcosa, pensiamo di sapere tutto.

Coloro che smettono di imparare qui mantengono un falso senso di padronanza. Chi continua a imparare, si rende conto che le cose sono più complesse e spesso perde la motivazione.

E più aumentano la loro conoscenza, più diminuisce la loro fiducia.
Molti si fermano a questo punto, pensando di non aver imparato nulla.
- Solo se andiamo avanti possiamo ritrovare fiducia e migliorare.
- E alla fine, saremo pieni di conoscenza e fiduciosi nelle nostre capacità quasi come subito dopo aver iniziato.

In altre parole, se un sempliciotto, un bravo studente e un saggio insegnante avessero un dibattito pubblico, ecco come potrebbero andare le cose.
- Il sempliciotto ne sa poco, ma è molto sicuro di sé ed esprime le sue opinioni a voce alta e senza esitazioni. Lo studente ne sa di più, ma non se ne rende conto perché le manca la fiducia. Lei tace. L’insegnante è fiducioso, ma capisce quanto siano davvero complesse le cose. Quindi esprime le sue opinioni con riserve.
- Alla fine, il sempliciotto vince il voto popolare, perché è così sicuro di avere ragione e la gente tende a fidarsi della certezza.
La ricerca dal Nord America, Europa e Giappone suggerisce che la cultura gioca un ruolo importante.
Dalle valutazioni sulla propria capacità di guidare sappiamo che il 93% degli americani pensa di essere alla guida migliore della media, mentre “solo” il 69% degli svedesi la pensa così. In Giappone invece le persone, in generale, tendono a sottovalutare le loro capacità come una strategia per vedere il loro scarso rendimento come un’opportunità per migliorare.
Intraprendere un viaggio di apprendimento può essere un’esperienza scoraggiante. Ciò che inizia come una piacevole passeggiata si trasforma presto in un’intensa battaglia di forza di volontà tra te e una quantità intimidatoria di conoscenza. Non arrenderti. Più a lungo combatti, più potere guadagni, fino al punto in cui vinci.

E alla fine, se perseveri, potresti essere elevato ai ranghi di Socrate, che, oltre 2000 anni fa, ci ha lasciato con una citazione di saggezza “So di essere intelligente, perché so di non sapere nulla. "

La Memoria umana in gigabytes

Thu, 30 Sep 2021 00:00:00 +0000

Pari a un milione di gigabyte, l’equivalente di circa 31,250 iPhone 7s da 32 GB: è questa la capacità di memoria del cervello umano, calcolata da un gruppo di neuroscienziati per una nuova ricerca, pubblicata sulla rivista “eLife”. Secondo lo studio, la nostra mente sarebbe in grado di memorizzare una quantità di informazioni di almeno 10 volte superiore rispetto a quella che, fino ad oggi, abbiamo creduto potesse immagazzinare. “È una scoperta bomba nel campo delle neuroscienze”, ha commentato uno dei ricercatori, Terry Sejnowski del Salk Institute for Biological Studies, in California.

“Le nuove misurazioni della capacità di memoria del cervello che abbiamo effettuato aumentano le stime conservative di un fattore 10 - ha aggiunto -. Siamo intorno almeno a un petabyte (un milione di GB), una dimensione approssimativamente simile all’intero World Wide Web”, ha spiegato il neuroscienziato.

$$1.000.000.000.000.000 \; \text{byte} = 10005 = 1015 \; \text{byte} = 1 \; \text{biliardo di byte} = 10^{15} \; \text{byte}$$

Ricordando che: $1 \; \text{byte} = 8 \; \text{bit}$¹

Sejnowski e il suo team hanno ricostruito in 3D l’ippocampo di un ratto, ossia quell’area del cervello comunemente associata alla memoria a lungo termine.
- Usando algoritmi e tecniche microscopiche, i ricercatori sono poi passati a ricostruire le sinapsi a livello nanomolecolare, studiandole nel dettaglio, come mai prima d’ora.
- Dall’osservazione è emerso che le sinapsi, anche nell’arco di pochi minuti, possono variare la loro dimensione, dando vita a ben 26 categorie diverse.
- Se fino ad oggi erano classificate solo come piccole, medie o grandi, i neuroscienziati hanno scoperto che, al contrario, esistono differenze tra loro che, pur essendo solo dell’$8$%, significano molto.
- Proprio questa complessità nelle dimensioni sinaptiche, secondo i neuroscienziati, si tradurrebbe in una spinta enorme nella capacità di memorizzazione del cervello.
La ricerca è ricca di implicazioni e richiede ulteriori approfondimenti: è importante tenere a mente che è stata condotta solo usando come modello il cervello dei ratti, ma, in futuro, potrà e dovrà essere condotta anche agli esseri umani.
Gli studiosi, comunque, si dicono soddisfatti: “Nascosto dietro l’apparente caos e disordine del cervello c’è la precisione delle forme e delle dimensioni delle sinapsi”, ha spiegato ancora l’autore. Proprio come delle macchine, ma più complessi e flessibili, i nostri cervelli, dunque, possono immagazzinare una quantità di informazioni che, fino ad oggi, era inimmaginabile.

[capacità di memoria del cervello umano](https://www.huffingtonpost.it/2016/11/04/memoria-cervello-10-volte-piu-potente-previsto_n_12797546.html?utm_hp_ref=it-memoria-cervello) -->

Bit - dall’inglese “binary digit” - in informatica è una cifra binaria, ovvero uno dei due simboli del sistema numerico binario, classicamente chiamati zero $0$ e uno $1$; si può parlare di numero di $8, 16, 32 \dots$ bit, come nella comune base dieci si parla di un numero di $8, 16, 32, \dots$ cifre. ↩︎

Il metodo di studio Cornell

Fri, 10 Sep 2021 00:00:00 +0000

references:

The Cornell Note Taking System

Il Metodo Cornell

Ideato quasi 80 anni fa dal prof. Walter Pauk della Cornell University di New York, il metodo Cornell è un sistema efficace per prendere appunti.

Nonostante la sua semplicità – alla fine si tratta di un foglio diviso in 3 parti – il metodo Cornell ti permette di seguire una lezione, una conferenza, una riunione di lavoro:
Mantenendo la concentrazione ai massimi livelli;
Aumentando comprensione e coinvolgimento;
Fornendo materiale di sudio chiaro e ordinato, pronto (o quasi) per essere memorizzato

Vediamo innanzi tutto, che cosa non funziona nella maniera in cui, normalmente, si prendono gli appunti.

Metodo tradizionale vs Metodo Cornell

La maggior parte delle persone, quando prende appunti, si limita a cercare di trascrivere le informazioni $\rightarrow$ input che riceve.
Si ascolta passivamente, ed altrettanto passivamente si trasferiscono sul quaderno quello che si ascolta.
Nel farlo, il cervello lavora in modo poco efficiente.
La concentrazione si abbassa, subentra la noia e ovviamente la qualità totale del lavoro cerebrale crolla.
Il flusso di informazioni rimane a uno stato di analisi e manipolazione superficiale: quello in cui ci si limita a trasformare i suoni in parole di senso compiuto e a metterle su carta.
Se poi, mentre si ascolta, ci si preoccupa soprattutto di trascrivere tutto, ciò non fa altro che aggiungere inefficienza a inefficienza.
- Non rimane tempo per pensare, e quindi scompare ogni coinvolgimento intellettuale rispetto a quello che si ascolta.
- Poiché è difficile scrivere tutto, il livello di attenzione e comprensione si abbassa ulteriormente: Si è infatti troppo impegnati a non farsi sfuggire neanche una parola.
- Si ha solo l’illusione di ascoltare; ma in realtà si sta lavorando più o meno come un registratore, ma non altrettanto veloce.
Il metodo Cornell invece, prescrivendo delle regole precise di compilazione degli appunti, costringe ad intervenire, fin da subito, sulle informazioni che si ricevono.

In particolare, si tratta di:

Selezionare, secondo priorità, le informazioni che vengono date

Concettualizzarle

Comprimerle in maniera che siano più sintetiche

Organizzarle

Prepararle per un ripasso efficace

Q - Ma come funziona nella pratica?

Le tre sezioni del foglio nel Metodo Cornell

1. Sezione di destra degli appunti Cornell (area A)

E’ quella in cui vengono presi gli appunti veri e propri.
In alto, intesta il foglio con quelli che potremmo definire i dati anagrafici della lezione data, tema, relatore, etc).
Sotto ad essi, scrivi gli appunti veri e propri, utilizzando:
- parole tue, aiuta a concettualizzare
- liste con elenchi puntati e/o numerati: aiuta a dare ordine e gerarchia alle informazioni
- Sintesi, come su twitter: aiuta a cogliere l’essenza
- Abbreviazioni: come in un sms; aiuta a ponderare le parole;
- Frecce e collegamenti, per evidenziare i rapporti logici
- Disegni esplicativi: stimolano la parte visiva e creativa della corteccia cerebrale;
- Commenticon note “emotive” (“Che schifo!” “Interessante!” “Bello!”): aiutano il processo di memorizzazione;
- Caratteri: usando corsivo, grassetto, MAIUSCOLO, minuscolo, sottolineato etc.

2. Sezione di sinistra degli appunti Cornell (Area B)

E’ la sezione dedicata alle parole chiave, che devono essere:

Poche: il meno possibile, anche perché lo spazio a disposizione è volutamente ridotto
Sintetiche: cioè non frasi, ma singoli sostantivi/aggettivi
Evocative: devono ricordare il contenuto della sezione di destra sia a livello concettuale che mnemonico

Sono proprio questo tipo di limiti, non facili da rispettare, a rendere efficace il Metodo Cornell.

3. Sezione inferiore degli appunti Cornell (Area C)

riassunto del contenuto delle pagina.
- annotare domande, fare brevi considerazioni, appuntarsi promemoria, impressioni, collegamenti, o tutto ciò che si ritiene possa essere utile.
  - Per es. Quanto detto mi ricorda che …. Come mai capita X … Vai a rivedere il testo Z … etc.
  - An che questa parte può essere iniziata durante la lezione, ma viene per lo più svolta dopo.

Perché il metodo Cornell è efficace

L’efficacia del metodo Cornell si basa su due fatti principali:

Durante la lezione, costringe all’ascolto attivo, e lo rende ancora più performante poiché dev’essere trasferito su carta, chiudendo così il loop cerebrale ascolto-rielaborazione-azione.

L’informazione che dev’essere acquisita compie in questa maniera un ciclo completo e diventa molto più stabile anche da un punto di vista mnemonico.

Dopo la lezione, costringe a rielaborare il materiale in maniera analitica e sintetica, e permette poi il ripasso a tre livelli di dettaglio differenti:
- quello dei riassunti (sezione inferiore),
- quello delle parole chiave (sezione sinistra),
- quello del totale degli appunti (sezione destra), con ciascun livello che può essere ripassato separatamente o insieme agli altri.

Non solo quindi si impara di più mentre si prendono gli appunti, ma si ha anche a disposizione uno strumento di studio/ripasso più strutturato e veloce.

Conclusioni sul Metodo Cornell

Molte persone, quando prendono appunti oppure scrivono schemi, sottolineano, fanno mappe, leggono un libro, commettendo un errore fondamentale: si mette tutto sullo stesso piano.
- Ci si concentra cioè sulla quantità delle informazioni, cercando di non farsene sfuggire nessuna.
- Purtroppo, però, l’ansia di non perdersi nulla, alla fine diventa solo un esercizio di trascrizione meccanico, per non dire inutile.
Il risultato, paradossale, è che dopo pochi minuti già non ci si ricorda quasi nulla di ciò che si è scritto, e gli appunti o schemi prendono l’aspetto di muri impenetrabili di parole.
Il giusto approccio, invece, è dedicarsi agli aspetti qualitativi, cominciando fin da subito a valutare, analizzare e soprattutto scegliere quello su cui vale la pena concentrarsi.
In questa maniera, grazie allo sforzo mentale che richiedono queste operazioni, il processo di apprendimento inizierà già da subito.
Quando ci si sforza a revisionare il materiale di studio secondo alcune regole precise, riesci ad aumentare:
- la velocità con cui viene processato il materiale;
- la memorizzazione;
- la comprensione, come quando si rielabora il materiale di studio.
Al contrario, quando ci si comporta in maniera passiva, sperando che, a forza di ripeterlo, il materiale si trasferisca - come per osmsosi - al cervello, i risultati sono piuttosto deludenti, soprattutto per le materie tecnico-scientifiche.

anche quando si utilizza il metodo Cornell si possono perdere delle informazioni: se essa è davvero importante potrà essere integrata in un secondo momento poiché sarà presente in molte fonti: web, YouTube, libri di testo, etc.

Una volta invece che si investe del tempo nel prendere degli appunti dei quali non si ricorderà praticamente nulla: quel tempo è perso per sempre.

Pagina di riferimento del Metodo Cornell

La prima lezione di matematica!

Wed, 08 Sep 2021 00:00:00 +0000

Table of Contents

Saluti e presentazioni

comunicazioni ufficiali

test d’ingresso di matematica:

Il giorno giovedì 16/09/2021, nella mia ora, si terrà il test d'ingresso di matematica:

argomenti: il programma dello scorso anno scolastico.

calcolo

proprietà delle potenze

operazioni con le frazioni

geometria

proporzioni, percentuali

semplici problemi

piano estate - terza fase:
- si tratta di uno sportello pomeridiano con incontri settimanali, di 1,5 ore ciascuno.
  - durerà fino a dicembre
  - verrà proposto agli studenti sulla base dei risultati del test d’ingresso
  - è aperto a tutti coloro che dovessero sentirne il bisogno
  - avrete un prof. diverso da me: ci scambiamo le classi
  - prossimamente riceverete tutti i dettagli

materiali didattici

Google Classroom:
codice classe: Google Classroom corsi
- comunicazioni
- assegnazione compiti (eventualmente anche sul Registro El.)
- post di varia natura:
  - per consigliare un video su YouTube
  - suggerimenti
  - materiale didattico: dispense, video, esercizi,
Registro elettronico: Classeviva Spaggiari:
- comunicazioni ufficiali, verifiche e interrogazioni, note, voti.
Libro di testo: MultiMath Verde - M. Baroncini, R. Manfredi - vol. 1 - ed. *Ghisetti&Corvi*
- non strettamente indispensabile in classe
- versione digitale su iPad? parliamone…
Appunti dalle lezioni:
- quaderno, suddiviso in 2 parti (o 2 quaderni, oppure uno ad anelli, etc.)
  1. appunti dalle lezioni
  2. esercizi

La lezione

Le regole del gioco
gli strumenti didattici

attività in autonomia

prevalentemente si tratterà di:
- revisione degli appunti
- approfondimenti sul testo
- esercizi (…pochi)

Q: - quanto tempo è bene dedicare allo studio della matematica per rimanere al passo, senza fare troppa fatica?

A: - La risposta è piuttosto soggettiva, ma… ho qualche consiglio per voi.

La verifica delle competenze

Le abilità rappresentano le capacità di applicare le conoscenze apprese, con lo scopo di risolvere problemi e portare a termini compiti.

Le competenze rappresentano la capacità di unire conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e metodologiche e utilizzarle nello studio e nello sviluppo personale.

Nel corso dell’anno verranno effettuate le seguenti valutazioni delle abilità-competenze-conoscenze:

verifica scritta:

esempio verifica

verrà effettuata una verifica per ogni modulo/argomento

Q: - come viene calcolato il punteggio e come si trasforma nel voto finale?

A: - Si tratta di un algoritmo che tiene conto di diverse variabili:

livello di assimilazione dell’argomento
capacità di ragionamento
capacità di calcolo
ordine
etc.

verifica orale:

la verifica orale potrà avvenire con modalità diverse, a seconda dei livelli e dai ritmi espressi dalla classe.
- interrogazione classica: volontaria e/o a sorpresa
- correzione di esercizi alla lavagna degli esercizi assegnati: non concordata
- test su Google Moduli

controllo quaderni:

l’attività di controllo dei quaderni serve a garantire una continuità di impegno anche nelle attività svolte in autonomia.
i voti raccolti nel corso del quadrimestre confluiranno in un ulteriore voto valido per l'orale - a fine quadrimestre.

eventuali prove pratiche:
- Flipped-Classroom: o altre attività da svolgere in coppie o piccoli gruppi
- Solo a determinate condizioni

Lezioni private

collaboriamo…

domande?

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$$x^2 - 2x + 1$$

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