CALCOLO
LETTERALE

- Rif.: Capitolo 5 -

prof. diego fantinelli

matematica per il biennio — classi prime

ITIS "Enrico Fermi" - Bassano del Grappa

Prerequisiti

  • insiemi numerici:

    • Operazioni e nomenclatura insiemistiche
    • Operazioni in $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

  • teoria degli insiemi

    • Rappresentazioni: estensiva, intensiva e Diagrammi di Eulero-Venn
    • Prodotto Cartesiano: definizione e rappresentazione

una riflessione per iniziare...

“I know not with what weapons World War III will be fought, but World War IV will be fought with sticks and stones.”
— Albert Einstein

Il Calcolo

Letterale

Esercizi

  • $-2 a^{2} s^{2}+\dfrac{7}{6} a^{2} s^{2}-\dfrac{5}{27} a^{2} s^{2}+\dfrac{11}{15} a^{2} s^{2}+\dfrac{3}{10} a^{2} s^{2}+\dfrac{5}{27} a^{2} s^{2}-\dfrac{6}{5} a^{2} s^{2}$
  • $\left(-2 x^{2} y^{3}+\dfrac{5}{2} x^{2} y^{3}-\dfrac{1}{6} x^{2} y^{3}\right)-\left(\dfrac{13}{12} x^{2} y^{3}-\dfrac{11}{4} x^{2} y^{3}+x^{2} y^{3}\right)$
  • $\left(-\dfrac{7}{20} a+\dfrac{11}{30} a-\dfrac{7}{12} a+\dfrac{1}{15} a\right)-\left(\dfrac{3}{8} a-\dfrac{7}{20} a-\dfrac{2}{5} a\right)$
  • $-\dfrac{2}{5} a^{3}+\dfrac{15}{8} a^{2} b-\dfrac{8}{15} a^{2}-\dfrac{3}{5} a^{3}+\dfrac{8}{15} a^{2}+a^{3}-\dfrac{7}{8} a^{2} b$
  • $\dfrac{11}{10} s^{3} t-\dfrac{11}{10} s t^{3}+\dfrac{3}{5} s t^{3}-\dfrac{31}{35} s^{3} t-\dfrac{3}{5} s-\dfrac{3}{14} s^{3} t+\dfrac{3}{5} s+\dfrac{3}{2} t^{3}$
  • $-\dfrac{1}{10} x y^{2}-\dfrac{1}{9} x^{2} y+\dfrac{5}{6} x y^{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{9} x^{2} y-\dfrac{11}{15} x y^{2}-\dfrac{5}{6}$
  • $\dfrac{1}{6} x y+\dfrac{5}{3} x-\left[\dfrac{1}{24} x y-\left(\dfrac{1}{12} x y-\dfrac{7}{8} x y+\dfrac{1}{6} x y\right)+2 x-\dfrac{1}{3} x\right]$

Definizioni

Dominio e Codominio $\mathscr{R}$

Dominio di una relazione $D$:

si dice dominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che sono associati ad almeno un elemento di $B$.

Codominio di una relazione $C$:

si dice codominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che sono associati ad almeno un elemento di $A$.

Immagine e Controimmagine

Immagine di una relazione:

si dice immagine di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che sono associati ad almeno un elemento di $B$.

Controimmagine di una relazione:

si dice controimmagine di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che sono associati ad almeno un elemento di $A$.

Dominio e Codominio $\mathscr{R}$

tramite le def. di immagine e controimmagine

Dominio di una relazione (D):

si dice dominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che hanno almeno una immagine in $B$.

Codominio di una relazione (C):

si dice codominiodi una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che hanno almeno una controimmagine in $A$

proprietà delle relazioni:

  • Riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso: $\forall x \in A, x \mathscr{R} y$
  • Antiriflessiva: nessun elemento è in relazione con se stesso: $\forall x \in A, x \cancel{\mathscr{R}} y$
  • Simmetrica: se $x$ è in relazione con $y$, allora $y$ è in relazione con $x$: $(x \mathscr{R} y) \vee (y \mathscr{R} z) \longrightarrow x \mathscr{R} z$, con $x, y, z \in A$
  • Antisimmetrica: se $x$ è in relazione con $y$ e $y$ è in relazione con $x$, allora $x=y$: $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} x) \longrightarrow x = y$, con $x, y \in A$
  • Transitiva: se $x$ è in relazione con $y$, e $y$ è in relazione con "z" allora $x$ è in relazione con $z$: $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} z) \longrightarrow x \mathscr{R} z$, con $x, y, z \in A$

Relazioni di equivalenza

definizione: una relazione $\mathscr{R}$ definita in un insieme $A$ è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Se $\mathscr{R}$ è una relazione di equivalenza, due elementi in relazione tra loro si dicono equivalenti rispetto a $\mathscr{R}$

  • I sottoinsiemi di $A$ costituiti da elementi tutti equivalenti fra loro rispetto alla relazione di equivalenza $\mathscr{R}$ si dicono classi di equivalenza di $\mathscr{R}$.
  • Essi costituiscono una partizione di $A$ e l’insieme che ha per elementi le classi di equivalenza rispetto a $\mathscr{R}$ si chiama insieme quoziente.

Relazioni d'ordine

definizione: relazione $\mathscr{R}$ che gode delle proprietà antisimmetrica e transitiva

  • Se $\mathscr{R}$ è anche antiriflessiva, essa è detta relazione d’ordine stretto
  • Se $\mathscr{R}$ è anche riflessiva, essa è detta relazione d’ordine largo
    • in particolare:
    • se $\mathscr{R}$ è una relazione d’ordine e $x \mathscr{R} y$, si dice che $x$ precede $y$ o che $y$ segue $x$ in $\mathscr{R}$
    • se $\forall x\in A$ e $\forall y \in A$ tali che $x \neq y$ risulta $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} x)$, allora si dice che $\mathscr{R}$ è una relazione d’ordine totale.
      Altrimenti $\mathscr{R}$ è detta relazione d’ordine parziale

Funzioni

definizione: $f: X \longrightarrow Y$

Dati due insiemi non vuoti $X$ e $Y$, si dice funzione tra $X$ e $Y$, una legge che associa ad ogni elemento $x$ dell’insieme $X$ uno e uno solo elemento $y$ dell’insieme $Y$

  • si scrive: $f: x \in X \longrightarrow y \in Y$

  • oppure, nella forma più compatta: $y=f(x)$

definizioni importanti

Dominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Codominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Contro-Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

## esercizi ripasso monomi e polinomi

Eseguiamo, se possibile, le seguenti divisioni:

  1. $\left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)$;
- La divisione $\left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)$ è possibile, perché ogni termine del dividendo contiene le variabili del divisore, con esponente maggiore o uguale.

Non è necessario, invece, che i coefficienti dei termini del dividendo siano multipli del coefficiente del divisore.

  • Dividiamo per $2 x^{2} y$ ogni termine del polinomio dividendo:

    $$ \begin{aligned} &12 x^{4} y^{3}:\left(2 x^{2} y\right)=6 x^{4-2} y^{3-1}=6 x^{2} y^{2}
    &-3 x^{3} y^{4}:\left(2 x^{2} y\right)=-\frac{3}{2} x^{3-2} y^{4-1}=-\frac{3}{2} x y^{3}
    &2 x^{2} y:\left(2 x^{2} y\right)=1 . \end{aligned} $$

Il risultato è quindi: $$ \left(12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y\right):\left(2 x^{2} y\right)=6 x^{2} y^{2}-\frac{3}{2} x y^{3}+1 . $$ Verifica : $$ \underbrace{\left(6 x^{2} y^{2}-\frac{3}{2} x y^{3}+1\right)}_{\text {quoziente }} \cdot \underbrace{2 x^{2} y}_{\text {divisore }}=\underbrace{12 x^{4} y^{3}-3 x^{3} y^{4}+2 x^{2} y}_{\text {dividendo }} . $$
### esercizio 2 $$\left(5 a b^{2}+3 a^{3} b^{3}-3 a^{4}\right):\left(2 a^{2} b^{2}\right)$$
  • La divisione $\left(5 a b^{2}+3 a^{3} b^{3}-3 a^{4}\right): 2 a^{2} b^{2}$ non è possibile per due motivi:
  • $5 a b^{2}$ ha grado rispetto ad $a$ minore di $2 a^{2} b^{2}$;
  • $-3 a^{4}$ ha grado rispetto a $b$ minore di $2 a^{2} b^{2}$ (il grado rispetto a $b$ di $-3 a^{4}$ è 0 ).
### prodotti notevoli

Esercizi

  • $(2 a-b)^{2}-(3 a+b)(a-2 b)+5 a^{2}-a b$
  • $(x+y)^{2}-2 y(x-y)-(x+y)(y-x)$
  • $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}+2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)$
  • $(x+1)^{3}+3(x+1)^{2}+3(x+1)+1$
- $2(y-3 x)^{2}+2(2 x+y)(y-2 x)-9 x^{2}-2 x y-(2 y-x)^{2}$ - $\left(x^{2}-3 y^{2}\right)\left(2 x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\left(x^{2}-2 y^{2}\right)-\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ - $[(2-a)(2+a)-2]^{3}-\left(2 a^{2}-b+1\right)^{2}+a^{2}\left(a^{2}+4\right)^{2}+\left(b-2 a^{2}\right)^{2}$ - $\left(-x+y^{2}\right)\left(-x-y^{2}\right)+(-2 y)^{2}(x-y)^{2}+8 x y^{3}-4 x^{2}\left(1+y^{2}\right)$
- $(x+2)^{2}-3(x+2)(x-2)+(x-2)^{3}-x^{2}(x-8)$ - $(x-2 y)^{3}-x(x-2 y)(x+2 y)+2 x y(3 x+4 y)-(-2 y)^{3}$ - $a\left(a^{2}-3\right)+\left(1+6 a+a^{3}\right)-(a-1)^{3}+(-a-1)^{3}$ - $\left\{\left[x^{3}-y^{3}+(x+y)^{3}+2 x^{2} y-x(2 x+3 y)(x+y)\right]^{2}-2\right}^{3}$

–

- $[a+3+(b-1)(2 b+a+3)+b(b+2 a-1)] a-(b+a)^{3}$ - $\left(x^{2}-2 x y+3 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 x y+3 y^{2}\right)-2\left(x y-x^{2}\right)^{2}-4 x^{3} y+x^{4}$ - $\left[(x-y)^{2}(x+y)^{2}-x^{2}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)\right]: \frac{(-y)^{2}}{2} \cdot(x+y)$ - $\left[(x+3 a)^{2}+(2 x-3 a)^{2}+4\left(x-\frac{3}{2} a\right)(3 a+x)\right]:(-3)^{2}-(x-2)^{2}$
- $\left(1-2 a^{2}\right)\left(1+2 a^{2}\right)+\left(5 a^{2}-1\right)^{2}-2\left(1-4 a^{2}\right)^{2}-\left[-2 a^{4}-\left(3 a^{2}-1\right)^{2}\right]$ - $\left[(x+y)^{3}-(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)\right]^{2}-2 x y(-3 x y)^{2}$ - $\left[x^{2}-(x-y)(x+y)+y^{3}\right]^{3}-(1+y)^{3} \cdot\left[\left(y^{3}+1\right)\left(y^{3}-1\right)+\left(y^{2}+x^{2}\right)^{0}\right]$

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