Relazioni e Funzioni

- Rif.: Capitolo 4 -

prof. diego fantinelli

ITIS "Enrico Fermi" - Bassano del Grappa

matematica per il biennio — classi prime

Prerequisiti

insiemi numerici:

Operazioni e nomenclatura insiemistiche
Operazioni in $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

teoria degli insiemi

Rappresentazioni: estensiva, intensiva e Diagrammi di Eulero-Venn
Prodotto Cartesiano: definizione e rappresentazione

una riflessione per iniziare...

"In fisica e in matematica è impressionante la sproporzione tra lo sforzo per capire una cosa nuova per la prima volta e la semplicità e naturalezza del risultato una volta che i vari passaggi sono stati compiuti.
Nel prodotto finito, nelle scienze come in poesia, non c'è traccia della fatica del processo creativo e dei dubbi e delle esitazioni che lo accompagnano".

— Giorgio Parisi, premio Nobel per la Fisica 2021

Relazioni e

FUNZIONI

Relazione $\mathscr{R}$

definizione:

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, si dice relazione tra $A$ e $B$ - e si indica con $\mathscr{R}$ -, una legge che associa elementi dell’insieme $A$ con elementi dell’insieme $B$.

Se una relazione opera tra un insieme $A$ e se stesso, si dice relazione nell’insieme $A$.
In generale si scrive: $\mathscr{R}: A \longrightarrow B$
oppure: $\mathscr{R}: a \in A \longrightarrow b \in B$

Definizioni

Dominio e Codominio $\mathscr{R}$

Dominio di una relazione $D$:

si dice dominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che sono associati ad almeno un elemento di $B$.

Codominio di una relazione $C$:

si dice codominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che sono associati ad almeno un elemento di $A$.

Immagine e Controimmagine

Immagine di una relazione:

si dice immagine di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che sono associati ad almeno un elemento di $B$.

Controimmagine di una relazione:

si dice controimmagine di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che sono associati ad almeno un elemento di $A$.

Dominio e Codominio $\mathscr{R}$

tramite le def. di immagine e controimmagine

Dominio di una relazione (D):

si dice dominio di una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $A$ che hanno almeno una immagine in $B$.

Codominio di una relazione (C):

si dice codominiodi una relazione $\mathscr{R}$ tra due insiemi $A$ e $B$ l'insieme degli elementi di $B$ che hanno almeno una controimmagine in $A$

proprietà delle relazioni:

Riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso: $\forall x \in A, x \mathscr{R} y$
Antiriflessiva: nessun elemento è in relazione con se stesso: $\forall x \in A, x \cancel{\mathscr{R}} y$
Simmetrica: se $x$ è in relazione con $y$, allora $y$ è in relazione con $x$: $(x \mathscr{R} y) \vee (y \mathscr{R} z) \longrightarrow x \mathscr{R} z$, con $x, y, z \in A$
Antisimmetrica: se $x$ è in relazione con $y$ e $y$ è in relazione con $x$, allora $x=y$: $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} x) \longrightarrow x = y$, con $x, y \in A$
Transitiva: se $x$ è in relazione con $y$, e $y$ è in relazione con "z" allora $x$ è in relazione con $z$: $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} z) \longrightarrow x \mathscr{R} z$, con $x, y, z \in A$

Relazioni di equivalenza

definizione: una relazione $\mathscr{R}$ definita in un insieme $A$ è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Se $\mathscr{R}$ è una relazione di equivalenza, due elementi in relazione tra loro si dicono equivalenti rispetto a $\mathscr{R}$

I sottoinsiemi di $A$ costituiti da elementi tutti equivalenti fra loro rispetto alla relazione di equivalenza $\mathscr{R}$ si dicono classi di equivalenza di $\mathscr{R}$.
Essi costituiscono una partizione di $A$ e l’insieme che ha per elementi le classi di equivalenza rispetto a $\mathscr{R}$ si chiama insieme quoziente.

Relazioni d'ordine

definizione: relazione $\mathscr{R}$ che gode delle proprietà antisimmetrica e transitiva

Se $\mathscr{R}$ è anche antiriflessiva, essa è detta relazione d’ordine stretto
Se $\mathscr{R}$ è anche riflessiva, essa è detta relazione d’ordine largo

in particolare:
se $\mathscr{R}$ è una relazione d’ordine e $x \mathscr{R} y$, si dice che $x$ precede $y$ o che $y$ segue $x$ in $\mathscr{R}$
se $\forall x\in A$ e $\forall y \in A$ tali che $x \neq y$ risulta $(x \mathscr{R} y) \wedge (y \mathscr{R} x)$, allora si dice che $\mathscr{R}$ è una relazione d’ordine totale.
Altrimenti $\mathscr{R}$ è detta relazione d’ordine parziale

Funzioni

definizione: $f: X \longrightarrow Y$

Dati due insiemi non vuoti $X$ e $Y$, si dice funzione tra $X$ e $Y$, una legge che associa ad ogni elemento $x$ dell’insieme $X$ uno e uno solo elemento $y$ dell’insieme $Y$

si scrive: $f: x \in X \longrightarrow y \in Y$
oppure, nella forma più compatta: $y=f(x)$

definizioni importanti

Dominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Codominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Contro-Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Proprietà delle
funzioni

osservazioni

In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;
$\gamma$ è un “forgetting factor” (fattore dimenticando) che rende gli eventi degli studi più recenti più influenti rispetto a quelli precedenti;
$CRj$ è la gratificazione ottenuta dalla scelta su un processo $j$;
$EVj$ è la valutazione del rischio su di un processo $j$;

Funzioni
notevoli

e loro rappresentazioni grafiche

Il Diagramma
cartesiano

proporzionalità lineare

❖ Consideriamo la seguente funzione:

$$y=f(x)=x^2$$

proporzionalità quadratica

❖ Consideriamo la seguente funzione:

$$y=f(x)=x^2$$

proporzionalità inversa

❖ Consideriamo la seguente funzione:

$$y=f(x)=x^2$$

funzioni goniometriche

La circonferenza goniometrica

la funzione seno

❖ Consideriamo la seguente funzione: $y=\sin{x}$

$$y=f(x)=sinx$$

la funzione coseno

❖ Consideriamo la seguente funzione: $y=\cos{x}$

$$y=f(x)=sinx$$

La funzione tangente

❖ Consideriamo la seguente funzione: $y=\tan{x}$

$$y=f(x)=tanx$$

esempi di funzione

nella vita reale

l'elettrocardiogramma

che cos'é l'elettrocardiogramma

L’elettrocardiogramma (ECG) è un esame cardiologico di tipo strumentale che viene eseguito in ambulatorio, o al letto del paziente qualora si trovi in ospedale o a domicilio, mediante il quale è possibile registrare e visualizzare graficamente l'attività elettrica del cuore.
Dalla successiva valutazione della rappresentazione grafica, il cardiologo ottiene indicazioni utili sullo stato del cuore.

matematicamente

l'elettrocardiogramma

A che cosa serve l'ECG?

L’elettrocardiogramma fornisce numerose informazioni sullo stato di salute del cuore: consente infatti di misurare la frequenza cardiacaindividuare eventuali aritmie e turbe della conduzione, sospettare un aumento di dimensione delle camere cardiache, e squilibri elettrolitici.
L’elettrocardiogramma si modifica anche in presenza di numerose condizioni patologiche cardiache, come per esempio l’ischemia acuta, la pericardite, la sindrome di Tako-Tsubo, le cardiomiopatie e in esiti di precedenti infarti.

l'elettrocardiogramma

A che cosa serve l'ECG?

L’elettrocardiogramma può essere eseguito a riposo (standard), con il paziente sdraiato sul lettino, o sotto sforzo, con il paziente che cammina su un tapis roulant o pedala su una cyclette. L’elettrocardiogramma sotto sforzo permette di individuare patologie cardiache latenti.
Vi è poi un terzo tipo di elettrocardiogramma, denominato elettrocardiogramma secondo Holter o dinamico, che offre la possibilità di monitorare la funzione cardiaca nell'arco di un certo periodo di tempo, in genere 24 ore.

le variabili coinvolte:

Onda P: piccola onda positiva, indica la depolarizzazione atriale (attivazione elettrica degli atri)
Intervallo PR: distanza fra l’inizio dell’onda P e l’inizio del complesso QRS, rappresenta l’intervallo necessario perché la depolarizzazione atriale raggiunga i ventricoli
Complesso QRS: rappresenta la depolarizzazione ventricolare
Onda Q: prima deflessione negativa
Onda R: prima deflessione positiva
Onda S: seconda deflessione negativa
Tratto ST: distanza fra l’onda S e l’inizio dell’onda T, rappresenta l’intervallo fra la depolarizzazione ventricolare e l’inizio della ripolarizzazione ventricolare (ripristino delle condizioni elettriche di base)
Onda T: prima onda positiva successiva al complesso QRS, rappresenta la ripolarizzazione ventricolare
Intervallo QT: distanza fra l’inizio del QRS e la fine dell’onda T, rappresenta l’intera attività elettrica ventricolare
Onda U: onda positiva successiva all’onda T, non sempre presente, rappresenta la ripolarizzazione delle fibre del Purkinje

matematicamente...

Attualmente la tecnica più utilizzata per il riconoscimento on line del complesso QRS è quella del filtraggio digitale.
Un filtro è una trasformazione lineare che al segnale $x_{t}$ associa un segnale $y_{t}$ definito da una funzione del tipo:

$$ y_{t}=\sum_{k=1}^{n} f(k) y_{t-k}+\sum_{i=1}^{m} g(i) x_{t-i}$$

La funzione Happiness

$\textbf{Happiness(t)}=w_{0}+w_{1} \cdot\displaystyle{\sum_{j=1}^{t}} \gamma^{t-j} C R_{j}+w_{2} \cdot\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} E V_{j}+w_{3} \cdot\sum_{j=1}^{t} \gamma^{t-j} R P E_{j}$

$t$; $w_0$, $w_1$, $w_2$ e $w_3$ sono costanti che indicano l’influenza dei diversi tipi di eventi;
$\gamma$ è un “forgetting factor” (fattore dimenticando) che rende gli eventi degli studi più recenti più influenti rispetto a quelli precedenti;
$CRj$ è la gratificazione ottenuta dalla scelta su un processo $j$;
$EVj$ è la valutazione del rischio su di un processo $j$;
$RPEj$ rappresenta la differenza tra la ricompensa desiderata e quella effettivamente ottenuta dal processo $j$.