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Il concetto di Modello Matematico

Wed, 30 Mar 2022 00:21:00 +0000

Il concetto di modello matematico

Nei casi concreti, l’analisi e la modellizzazione di un fenomeno casuale avviene solitamente secondo le fasi sintetizzate nel seguente schema.

graph TD A[Esperimento Casuale] --> B(osservazione) B --> |statistica descrittiva| C(analisi dati) C --> D{confronto} A --> E(modello) E -->|Calcolo delle Probabilità| G[Previsioni] G --> D D --> H[validazione o
correzione del modello]

La costruzione del modello del fenomeno casuale consiste nel definire alcune variabili aleatorie che descrivono il fenomeno in esame e assegnare a tali variabili aleatorie una distribuzione di probabilità.
- Questa fase è la più delicata perché comporta un certo grado di arbitrarietà nella scelta della distribuzione più adeguata.
Naturalmente, nella costruzione del modello non si procede arbitrariamente, ma si cerca di descrivere nel miglior modo possibile gli aspetti di interesse del fenomeno che si sta studiando.
Tuttavia, dopo aver trovato un modello che, almeno a priori, sembra ragionevole, esso dovrà essere «messo alla prova", confrontando con i dati empirici le previsioni che consente di effettuare.
Nel caso si riscontrino delle significative discrepanze con i dati reali, occorre cercare di modificare il modello per renderlo più aderente alla realtà; nel caso in cui, invece, si abbia conferma di aver trovato un buon modello, non è tuttavia detto che esso sia necessariamente l’unico valido o che non sia ulteriormente migliorabile.

Si intravede così la moderna concezione di modello matematico come rappresentazione formale di un fenomeno, che non pretende di spiegarlo o di scoprime l’intima essenza, ma solo di darne un’immagine che descriva bene alcuni suoi aspetti.

Un modello va dunque valutato soltanto in base alla sua efficacia e un buon modello non è detto che sia l’unico possibile.
- Si tratta di un approccio opposto a quello della fisica classica:per Newton l’obiettivo fondamentale non era l’utilità ma la ricerca della verità, la scoperta delle cause di un fenomeno, la loro spiegazione, fino a giungere alla causa prima. Non è un caso, quindi, che la moderna modellistica matematica e la diffusione dei modelli matematici anche nell’ambito di discipline diverse dalla fisica abbiano avuto origine proprio con la crisi di uno dei principi fondamentali della fisica classica: quello del determinismo, secondo cui la conoscenza della posizione e della velocità di un punto materiale, nonché della legge del suo moto, determinano in modo univoco la sua evoluzione.
A scardinare questo principio fu principalmente la scoperta, da parte di Werner Karl Heisenberg (1927), che a livello microscopico la posizione e la velocità di una particella non possono essere determinate simultaneamente; si può soltanto determinare la probabilità che la particella si trovi in un punto anziché in un altro, oppure che abbia una velocità piuttosto che un’altra.

Il comportamento della particella non può dunque essere previsto in modo certo, come normalmente accadeva nella fisica classica.

Ne seguì una progressiva crisi della concezione puramente deterministica, che lasciò gradualmente spazio a un approccio nuovo ai problemi, di tipo modellistico e probabilistico, ben sintetizzato dalle parole di uno dei massimi scienziati del novecento, John von Neumann (1903-1957):

«Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni, cioè che descriva correttamente i fenomeni di un’area ragionevolmente ampia."

Esagerare è stupido

Mon, 21 Mar 2022 00:21:00 +0000

bisogna esagerare per impressionare», ma spesso chi esagera dà solo un’impressione di stupidità
— George Bernard D Shaw

Esagerazioni

Così è, ad esempio, per chi esagera nella forma usando troppi pleonasmi o iperboli (termini che in greco significavano entrambi «esagerazioni»). O per chi esagera nella sostanza raccontando sbruffonate per piacere individuale, come un pescatore, o per dovere professionale, come un giornalista.

Una delle esagerazioni preferite dagli organizzatori di un evento politico o musicale riguarda le folle oceaniche che vi partecipano.
Nell’ovale di Central Park, ad esempio, erano state dichiarate 250.000 persone per James Taylor nel 1979, 300.000 per Elton John nel 1980, 400.000 per Simon e Garfunkel nel 1981, 600.000 per Paul Simon da solo nel 1991, e 750.000 per Garth Brooks nel 1997.
Ma nel 2008, i poliziotti registrarono con i contapersone il numero esatto dei partecipanti a un concerto, nel quale ogni centimetro quadrato dell’ovale di Central Park era stipato, e ce n’erano solo 48.538.
- Poiché la superficie dell’ ovale è di 52.610 metri quadrati, e circa un terzo dello spazio era coperto dal palco e da spazi transennati, la densità era poco più di una persona a metro quadro.

Queste le vere cifre: le altre erano stupidaggini.

Epitaffio di Diòfanto

Fri, 19 Nov 2021 00:21:00 +0000

There is not one big cosmic meaning for all, there is only the meaning we each give to our life.
— Anaïs Nin

Diofanto di Alessandra

Diofanto di Alessandria (in greco: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς) fu un grande matematico greco e, anche se della sua vita si sa ben poco e pare sia vissuto nel periodo tra il $II$ e il $III$ secolo d.C. ad Alessandria d’Egitto in epoca romana, alcuni ritengono che sia stato l’ultimo dei grandi matematici ellenistici.
In un epigramma della “Antologia Palatina”, attribuito a Metrodoro di Bisanzio, grammatico e aritmetico vissuto nel $VI$ secolo d.C., si legge una curiosa indicazione dalla quale è possibile trarre l’età del grande matematico greco Diofanto.
L’indovinello che, secondo la leggenda, Diofanto stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio, è un problema aritmetico proposto sotto forma appunto di epigramma¹, e che fa parte della raccolta di 45 indovinelli, corrispondenti ad equazioni di primo grado ad un’incognita, che l’epigrammista greco Metrodoro incluse nell’Antologia Greca.
Infatti il libro XIV dell’Antologia Palatina contiene $150$ epigrammi, di cui $45$ sono i problemi aritmetici raccolti da Metrodoro.

epitaffio di Diofanto

A Diofanto si deve un famoso problema, che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio:

«Οὑτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος· ἆ μέγα θαῦμα!
καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει.
Ἕκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην,
δωδεκάτην δ’ ἐπιθείς μῆλα πόρεν χνοάειν·
τῇ δ’ ἄρ’ ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος,
ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ’ ἐπένευσεν ἔτει.
Αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος, ἥμισυ πατρός
+τοῦδε καὶ ἡ κρυερός+ μέτρον ἑλὼν βιότου. Πένθος δ’ αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς
τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ’ ἐπέρησε βίου.»

«Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia!
dice matematicamente quanto ha vissuto.
Un sesto della sua vita fu l’infanzia,
aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza.
Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie,
e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio.
L’infelice (figlio) morì improvvisamente
quando raggiunse la metà dell’età che il padre ha vissuto.
Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni
e raggiunse infine il termine della propria vita.»

La soluzione dell’enigma sta nella seguente equazione: $$\large \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 = x$$

soluzione:

$$ \begin{align} \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{84} = x\\ \cancel{84} \cdot \dfrac{14x + 7x + 12x +420 + 42x + 336}{\cancel{84}} = 84x\\ -9x = -756\\ \dfrac{-9x}{-9} = \dfrac{-756}{-9}\\ \end{align} $$

da cui si ricava l’età di Diofanto: $$\Large x = 84$$

Breve componimento diretto a fissare, per lo più in modo ironico o satirico, l’interpretazione personale di un fatto, sì da indurre il lettore alla riflessione o al riso; ↩︎